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二项式定理:与通项有关的一些问题

[02-10 16:44:04]   来源：http://www.kuaixue5.com  数学典例讲解   阅读：8990次
概要： 概要：与通项有关的一些问题 例1．在的展开式中，指出1）第4项的二项式系数2）第4项的系数 3）求常数项 解:展开式的通项为展开式中的第r+1项. 1），二项式系数为； 2）由1）知项的系数为； 3）令6-3r=0, ∴ r=2, ∴ 常数项为. 例2．若的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项. 分析:通项为, ∵ 前三项的系数为，且成等差，∴ 即 解得:n=8. 从而，要使Tr+1为有理项，则r能被4整除. 例3．1）求的常数项；2）求(x2+3x+2)5的展开式中x的系数. 解:1）通项， 令6-2r=0, r=3,∴ 常数项为. 2）(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5 ∴ 展开式中含x项由(x+1)5中常数项乘(x+2)5的一次项与(x+1)5的一次项乘(x+2)5的常数项相加得到.即为，因而其系数为240. 例4．(a+b+c)10的展开式中，含a5b3c2的系数为_________. 分析:根据多项式相乘的特点，从(a+b+c)10的十个因式中选出5个因式中的a，三个因式中的b，两个因式中的c得到，从而a5b3c2的系数为. 小结:
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与通项有关的一些问题
　　例1．在的展开式中，指出　1）第4项的二项式系数　2）第4项的系数　 3）求常数项
　　解:展开式的通项为展开式中的第r+1项.
　　1），二项式系数为；
　　2）由1）知项的系数为；
　　3）令6-3r=0, ∴ r=2, ∴ 常数项为.

　　例2．若的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项.

　　分析:通项为,
　　∵ 前三项的系数为，且成等差，∴
　　即 解得:n=8.
　　从而，要使Tr+1为有理项，则r能被4整除.
　　

　　例3．1）求的常数项；2）求(x2+3x+2)5的展开式中x的系数.

　　解:
　　1）通项，
　　令6-2r=0,　 r=3,∴ 常数项为.

　　2）(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5 ∴ 展开式中含x项由(x+1)5中常数项乘(x+2)5的一次项与(x+1)5的一次项乘(x+2)5的常数项相加得到.即为，因而其系数为240.

　　例4．(a+b+c)10的展开式中，含a5b3c2的系数为_________.

　　分析:根据多项式相乘的特点，从(a+b+c)10的十个因式中选出5个因式中的a，三个因式中的b，两个因式中的c得到，从而a5b3c2的系数为.

　　小结:三项式的展开，或者转化为二项式展开，或者采用得到二项式定理的方法去解决.

　　例5．(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+……+(1+x)100的展开式中x3的系数为______.

　　分析:
　　（法一）展开式中x3项是由各二项展开式中含x3项合并而形成.因而系数为
　　

　　（法二）不妨先化简多项式，由等比数列求和公式:原式=,
　　要求x3项只要求分子的x4项，因而它的系数为.


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