如何求抛物线的标准方程
例1 已知抛物线的焦点在x轴上,抛物线上的点M(—3,m)到焦点的距离等于5,求抛物线的标准方程和m的值.
解1 设抛物线方程y2=—2px(p>0),则焦点F(— ,0),由题设可得:
,解得
故抛物线的方程为y2=—8x,m的值为± .
解2 设抛物线方程为y2=—2px(p>0),则焦点F(— ,0),准线方程为x= .
根据抛物线的定义,M到焦点的距离等于5,也就是M到准线的距离等于5,则 +3=5,
∴p=4.因此抛物线方程为y2=—8x,又点M(—3,m)在抛物线上,于是m2=24,∴m=±
评析 比较两种解法,可看出运用定义方法的简捷.
例2如图所示,点
且设动点N的轨迹为曲线C,求曲线C的方程;
解:设,由知:R是TN的中点,
则
则就是点N的轨迹曲线C的方程
评析 此问题是平面解析几何和向量知识的结合,以向量为背景求圆锥曲线方程是命题的一种方向。
例3 ①已知抛物线的方程为 ,求它的准线方程及焦点坐标。
②求焦点是 的抛物线的标准方程。
解:①∵ ∴焦点坐标为 ,准线方程为
②∵焦点在x轴的负半轴上
∴它的标准方程为
评析:求抛物线的基本量时应该注意将其方程化为标准方程,抛物线的标准方程有四种形式。
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