赋值法在二项式定理中的应用
例1.已知, 其中b0+b1+b2+……+bn=62, 则n=_________.
分析:令x=1,则 ,
由已知, 2n+1-2=62, ∴ 2n+1=64,
∴ n=5.
例2.已知
1)求a0, 2)求a1+a2+a3+a4+a5
3)求(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2 4)求a1+a3+a5
5)|a0|+|a1|+……+|a5|
分析:
1)可以把(1-2x)5用二项式定理展开求解.从另一个角度看,a0为x=0时右式的结果,因而令x=0,
∴ (1-0)5=a0, ∴ a0=1.
2)令x=1, 则(1-2)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5 又a0=1,∴ a1+a2+a3+a4+a5=-2.
3)令x=1,得a0+a1+a2+……+a5=-1 (*) 令x=-1, 得35=a0-a1+a2-a3+a4-a5 (**)
因而,(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2
4)联立(*),(**)两方程,解得a1+a3+a5=-122.
5)
因而 |a0|+|a1|+……+|a5|即为(1+2x)5的展开式的所有系数和,
∴ |a0|+|a1|+……+|a5|=(1+2)5=35=243.
小结:①求展开式的系数和只需令x=1可解; ② 赋值法也需合情合理的转化.
例3.求的展开式中有理项系数的和.
分析:研究其通项.
显然当r=2k(k∈Z)时为有理项.因而它的有理项系数和即为(2+t)n的奇数项的系数和.
设 (2+t)n=a0+a1t+a2t2+……+antn 令t=1,即3n=a0+a1+a2+……+an 令t=-1,
即1=a0-a1+a2-……+(-1)nan
上两式相加,解得奇数项系数和.
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