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关于抛物线焦点弦性质问题

[02-10 16:44:10]   来源：http://www.kuaixue5.com  数学典例讲解   阅读：8216次
概要： 概要：关于抛物线焦点弦性质问题例1 斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线交于两点A、B，求线段AB的长.解1 如图所示，由抛物线的标准方程可知，焦点F（1，0），准线方程x=—1.由题可知，直线AB的方程为y=x—1，代入抛物线方程y2=4x，整理得：x2—6x+1=0解上述方程得x1=3+2 ,x2=3—2 ，分别代入直线方程得y1=2+2 ,y2=2—2 即A、B的坐标分别为（3+2 ，2+2 ），（3—2 ，2—2 ）∴|AB|= 解2 设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则x1+x2=6,x1·x2=1∴|AB|= |x1—x2| 解3 设A（x1,y1)、B(x2,y2),由抛物线定义可知，|AF|等于点A到准线x=—1的距离|AA′|即|AF|=|AA′|=x1+1；同理|BF|=|BB′|=x2+1 ∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8评析： 解2是利用韦达定理根与系数的关系，设而不求，是解析几何中求弦长的一种普遍适用的方法；解3充分利用了抛物线的定义，解法简洁，值得引起重视．备选题例2在抛物线 上求一点，使这点到直线 的
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关于抛物线焦点弦性质问题
例1 斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线交于两点A、B，求线段AB的长.
解1  如图所示，由抛物线的标准方程可知，焦点F（1，0），准线方程x=—1.
由题可知，直线AB的方程为y=x—1，代入抛物线方程y2=4x，整理得：x2—6x+1=0
解上述方程得x1=3+2 ,x2=3—2 ，分别代入直线方程得y1=2+2 ,y2=2—2
即A、B的坐标分别为（3+2 ，2+2 ），（3—2 ，2—2 ）
∴|AB|=
解2  设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则x1+x2=6,x1·x2=1
∴|AB|= |x1—x2|
解3  设A（x1,y1)、B(x2,y2),由抛物线定义可知，|AF|等于点A到准线x=—1的距离|AA′|
即|AF|=|AA′|=x1+1；同理|BF|=|BB′|=x2+1 ∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8
评析： 解2是利用韦达定理根与系数的关系，设而不求，是解析几何中求弦长的一种普遍适用的方法；解3充分利用了抛物线的定义，解法简洁，值得引起重视．
备选题
例2在抛物线 上求一点，使这点到直线 的距离最短。
解：设点 ，距离为 ， ， 
当 时， 取得最小值，此时 为所求的点。
评析，此问题可以设点 ,利用抛物线标点法求解；也可以设 与 相切，求出切点的坐标
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