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最全的因式分解方法:换元法与待定系数法

[01-13 15:54:52]   来源:http://www.kuaixue5.com  初二数学公式   阅读:8103
概要: 概要:7、换元法换元法就是引入新的字母变量,将原式中的字母变量换掉化简式子。运用此种方法对于某些特殊的多项式因式分解可以起到简化的效果。例7分解因式:(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-120解析若将此展开,将十分繁琐,但我们注意到(x+1)(x+4)=x2+5x+4(x+2)(x+3)=x2+5x+6故可用换元法分解此题解原式=(x2+5x+4)(x2+5x+6)-120令y=x2+5x+5则原式=(y-1)(y+1)-120=y2-121=(y+11)(y-11)=(x2+5x+16)(x2+5x-6)=(x+6)(x-1)(x2+5x+16)注在此也可令x2+5x+4=y或x2+5x+6=y或x2+5x=y请认真比较体会哪种换法更简单?8、待定系数法 待定系数法是解决代数式恒等变形中的重要方法,如果能确定代数式变形后的字母框架,只是字母的系数高不能确定,则可先用未知数表示字母系数,然后根据多 项式的恒等性质列出n个含有特殊确定系数的方程(组),解出这个方程(组)求出待定系数。待定系数法应用广泛,在此只研究它的因式分解中的一些应用。例7分解因式:2a2+3ab-
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  7、换元法

  换元法就是引入新的字母变量,将原式中的字母变量换掉化简式子。运用此

  种方法对于某些特殊的多项式因式分解可以起到简化的效果。

  例7分解因式:

  (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-120

  解析若将此展开,将十分繁琐,但我们注意到

  (x+1)(x+4)=x2+5x+4

  (x+2)(x+3)=x2+5x+6

  故可用换元法分解此题

  解原式=(x2+5x+4)(x2+5x+6)-120

  令y=x2+5x+5则原式=(y-1)(y+1)-120

  =y2-121

  =(y+11)(y-11)

  =(x2+5x+16)(x2+5x-6)

  =(x+6)(x-1)(x2+5x+16)

  注在此也可令x2+5x+4=y或x2+5x+6=y或x2+5x=y请认真比较体会哪种换法更简单?

  8、待定系数法

   待定系数法是解决代数式恒等变形中的重要方法,如果能确定代数式变形后的字母框架,只是字母的系数高不能确定,则可先用未知数表示字母系数,然后根据多 项式的恒等性质列出n个含有特殊确定系数的方程(组),解出这个方程(组)求出待定系数。待定系数法应用广泛,在此只研究它的因式分解中的一些应用。

  例7分解因式:2a2+3ab-9b2+14a+3b+20

  分析属于二次六项式,也可考虑用双十字相乘法,在此我们用待定系数法

  先分解2a2+3ab+9b2=(2a-3b)(a+3b)

  解设可设原式=(2a-3b+m)(a+3b+n)

  =2a2+3ab-9b2+(m+2n)a+(3m-3n)b+mn……………

  比较两个多项式(即原式与*式)的系数

  m+2n=14(1)m=4

  3m-3n=-3(2)=>

  mn=20(3)n=5

  ∴原式=(2x-3b+4)(a+3b+5)

  注对于(*)式因为对a,b取任何值等式都成立,也可用令特殊值法,求m,n

  令a=1,b=0,m+2n=14m=4

  =>令a=0,b=1,m=n=-1n=5


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