什么是换元法

什么是换元法，好问频道为学友整理．用换元法解方程，简便．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元。它可以化高次为低次、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。也就是把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，
例题：
1.　　 y＝sinx·cosx＋sinx＋cosx的最大值是_________。

2.　　设f(x²＋1)＝log_a (4－x⁴) （a>1），则f(x)的值域是_______________。

3.　　已知数列{a_n}中，a₁＝－1，a_n+1·a_n＝a_n+1－a_n，则数列通项a_n＝________________。

4.　　设实数x、y满足x²+2xy+y-1=0，则x+y的取值范围是________________。

5.　　方程＝3的解是_______________。

6.　　不等式log₂ (2^x－1) ·log₂ (2^x+1 －2)<2的解集是____________________。

7. 实数x、y满足4x2－5xy＋4y2＝5 （ ①式） ，设S＝x2＋y2，求＋的值。（93年全国高中数学联赛题）

【注】三角换元法、均值换元法；求值域的几种方法（有界法、不等式性质法、分离参数法）。

其它换元法（和差换元）

8． △ABC的三个内角A、B、C满足：A＋C＝2B，＋＝－，求cos的值。（96年全国理）

【解】

【注】均值换元法。结合三角形角的关系与三角公式进行运算。
9. 设a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a2的最大值和最小值。

【注】局部换元法，化为二次闭问题；含参问题分类讨论（此题由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况）。

例4. 设对所有实数x，不等式x2log2＋2x log2＋log2>0恒成立，求a的取值范围。（87年全国理）

【注】局部换元法，简化了问题；判别式法；对数运算。

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