等差数列求和公式
等差数列:在一列数中,任意相邻两个数的差是一定的,这样的一列数,就叫做等差数列。
基本概念:首项:等差数列的第一个数,一般用a1表示;
项数:等差数列的所有数的个数,一般用n表示;
公差:数列中任意相邻两个数的差,一般用d表示;
通项:表示数列中每一个数的公式,一般用an表示;
数列的和:这一数列全部数字的和,一般用Sn表示。
基本思路:等差数列中涉及五个量:a1 ,an, d, n, sn,通项公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可求出第四个;求和公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可以求这第四个。
基本公式:
通项公式:an = a1+(n-1)d;
通项=首项+(项数一1) ×公差;
数列和公式:sn,= (a1+ an)×n÷2;
数列和=(首项+末项)×项数÷2;
项数公式:n= (an+ a1)÷d+1;
项数=(末项-首项)÷公差+1;
公差公式:d =(an-a1))÷(n-1);
公差=(末项-首项)÷(项数-1);
关键问题:确定已知量和未知量,确定使用的公式。
例题1 小看一本书第一天看了20页,以后每天都比前一天多看2页,第30天看了78页正好看完。这本书共有多少页?
提示 根据条件“以后每天比前一天多看2页”可以知道他每天看的页数都是按照一定规律排列的数,即20、22、24、…、76、78。要求这本书共有多少页也就是求出这列数的和。
解:由题意可知,这列数是一个等差数列,首项=20,末项=78,项数=30,所以这本书共有
(20+78)×30÷2=1470(页)
答:这本书共有1470页。
例题2 有50把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试多少次?
提示:开第一把锁时,如果不凑巧,试了49把钥匙还不行,那所剩的一把就一定能把它打开,即开第一把锁至多需要试49次,同理,开第二把锁至多需要48次,开第三把锁至多需试47次,…,等打开第49把锁,剩下的最后一把不用试,一定能打开。
解:根据以上分析,可以把本题转化为求一个等差数列的和,
即 49+48+47+…+2+1
=(49+1)×49÷ 2
=1225(次)
答:至多要试1225次。