初一年级希望杯真题解析
事实上，一试中希望杯的简单题、中等题、难题题量的比例和分值比例大概在4:4:2，难题主要集中在 B 类填空题 以及选择题和 A 类填空题的 最后一题 ，涉及到的考点包括：数论、方程的应用、几何。
因为简单题和中等题的区分度较小，所以在保证这些题目得分的基础上， 难题的得分率 成为了希望杯一试通过与否的 主要因素 。希望杯试题的难易究竟如何，我们来看几个题目。
1. 【 2010 年希望杯 “ 一试 ”25 题 】整数 x ， y 满足方程 2 xy + x + y =83 ，则 x + y = 或 。
【考点】不定方程、因式分解、数论
【分析】 通过因式分解，方程可变为（2x+1）（2y+1）=167.
因为167是一个质数，通过枚举可以得出x、y的解有（0，83）（83，0）（-1，-84）（-84，-1）
所以 x+y =83 或者 -85
【点评】本题体现了不定方程与数论结合的考察，属于不定方程的整数解问题。难点体现在几个知识点的综合考察，这也是希望杯代数压轴题的常见出题模式。
2. 【 2012 年希望杯 “ 一试 ”20 题 】在一条笔直的公路上，某一时刻，有一辆客车在前，一辆小轿车在后，一辆货车在客车与小轿车的正中间同向行驶，过了 10 分钟，小轿车追上了货车；又过了 5 分钟，小轿车追上了客车，此后，再过 t 分钟，货车追上了客车，则 t =__ ．
【考点】行程中的追及问题
【分析】设轿车速度为 v 1，货车速度为 v 2，客车速度为 v 3，三车之间的初始距离为 s ，则： v 1- v 2= s /10， v 1- v 3=2 s /(10+5)，二式相减可得 v 2- v 3=2 s /15- s /10= s /30，
故货车追上客车的时间为： t =30-10-5=15分钟。
【点评】三辆车的追及问题比较复杂，涉及到了四个未知数，对于大多数学生来说不知道从何入手，方程的应用近些年一直是学校考察的重点，希望杯这些年也一直在加大这方面的考察，反映了希望杯与学校的贴合越来越紧密。
3. 【 2012 年希望杯 “ 一试 ”25 题 】如图，在 △ ABC 中， ∠ ACB =90° ， M 是 ∠ CAB 的平分线 AL 的中点 . 延长 CM 交 AB 于 K ， BK =BC ．则 ∠ CAB =_______°， ∠ACK : ∠KCB =_________
【考点】三角形外角；直角三角形斜边中线
【分析】设 ∠ CAB=2α ，因为 AM=ML ，且 ∠ ACB=90° ，故 CM=AM ， ∠ ACM= ∠ MAC=α ，
故 ∠ CKB= ∠ CAK+ ∠ ACM=3α ， ∠ KCB=90°- ∠ ACM=90°-α ，
又 BK=BC ，故 ∠ CKB= ∠ KCB ，则 3α=90°-α ， α=22.5° ，
因此， ∠ CAB=2α=2×22.5°=45° ，
∠ACK/∠KCB=α /( 90°-α)= 22.5°/(90°-22.5°)=1/3
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